优化模型和软件工具 语言编程软件 线性规划解决了线性规划模型的历史。单纯形法于1947年引入，人工估算的工作量巨大。第一个具有实用价值的线性规划模型只有9个约束和77个变量。120个工作日估算结果；1950年代：第一个线性规划软件出现，受限于计算机，只能解决100个变量的线性规划问题；1960年代：商业线性规划软件出现，可以在IBM电脑上解决千变量问题；1970年代：许多小型计算机提供商业语言规划软件，如MPS/X、FMPS等，可以解决数万个变量和约束的问题，并有相应的模型数据处理系统，比如MG、RG等。1980年代求解线性规划模型的历史：在计算机软硬件技术进步的推动下，求解模型的规模上升了一个数量级。内点法问世，新软件出现，如CPLEX、OSL等；出现了较为完善的模型构建解决方案体系：GAMS、AMPL等 1990年代：信息技术时代，运筹学与信息技术融合，基于平台的应用系统IT与OR融合，综合性的出现集信息采集、存储、分析、优化为一体的决策支持系统；解决数千万变量的超小型物理模型；典型应用：金融领域线性规划软件的进步，2360倍计算机（工作站？PC）800倍算法×计算机190万倍摩尔定理预测计算机速度每18个月翻一番：从1988年到2003年，总共15年应该增加1024倍；解决上面的生产计划模型，1988年需要80年，1997年需要24小时，2003年需要1分钟。线性规划软件改进的诱因是什么？Bixby，著名线性规划软件CPLEX的主要设计者总结了以下几个方面的进展：处理稀疏矩阵数据结构线性规划问题预处理初始基选择旋转轴规则选择：最快边增长法、排序法；LU分解及乘积法依据：分解稳定性，降低非零元素的下降率，提高估计精度；单纯形法的估计效率人们仍然试图证明单纯形法是一种方程算法；1972 年，Klee 和 Minty 出人意料地举了一个例子来证明单纯形算法不是 算法；该问题共有2n个极点，需要2n-1次迭代才能找到最优解；求解线性规划的单纯形法是统计意义上的方程法。1981年在大量实验的基础上强调：简单形状迭代次数的物理期望不会低于O(n4m)前南斯拉夫物理学家1979年提出的椭球算法求解“线性严格不等式系统”。单纯形法的估计效率人们仍然试图证明单纯形法是一种方程算法；1972 年，Klee 和 Minty 出人意料地举了一个例子来证明单纯形算法不是 算法；该问题共有2n个极点，需要2n-1次迭代才能找到最优解；求解线性规划的单纯形法是统计意义上的方程法。1981年在大量实验的基础上强调：简单形状迭代次数的物理期望不会低于O(n4m)前南斯拉夫物理学家1979年提出的椭球算法求解“线性严格不等式系统”。单纯形法的估计效率人们仍然试图证明单纯形法是一种方程算法；1972 年，Klee 和 Minty 出人意料地举了一个例子来证明单纯形算法不是 算法；该问题共有2n个极点，需要2n-1次迭代才能找到最优解；求解线性规划的单纯形法是统计意义上的方程法。1981年在大量实验的基础上强调：简单形状迭代次数的物理期望不会低于O(n4m)前南斯拉夫物理学家1979年提出的椭球算法求解“线性严格不等式系统”。Klee 和 Minty 出人意料地举了一个例子来证明单纯形算法不是 算法；该问题共有2n个极点，需要2n-1次迭代才能找到最优解；求解线性规划的单纯形法是统计意义上的方程法。1981年在大量实验的基础上强调：简单形状迭代次数的物理期望不会低于O(n4m)前南斯拉夫物理学家1979年提出的椭球算法求解“线性严格不等式系统”。Klee 和 Minty 出人意料地举了一个例子来证明单纯形算法不是 算法；该问题共有2n个极点，需要2n-1次迭代才能找到最优解；求解线性规划的单纯形法是统计意义上的方程法。1981年在大量实验的基础上强调：简单形状迭代次数的物理期望不会低于O(n4m)前南斯拉夫物理学家1979年提出的椭球算法求解“线性严格不等式系统”。求解线性规划的单纯形法是统计意义上的方程法。1981年在大量实验的基础上强调：简单形状迭代次数的物理期望不会低于O(n4m)前南斯拉夫物理学家1979年提出的椭球算法求解“线性严格不等式系统”。求解线性规划的单纯形法是统计意义上的方程法。1981年在大量实验的基础上强调：简单形状迭代次数的物理期望不会低于O(n4m)前南斯拉夫物理学家1979年提出的椭球算法求解“线性严格不等式系统”。
相当于求解一个线性规划问题，证明方程算法的估计效率从根本上难以与单纯形法相比。1984年法越物理学家提出求解线性规划的内点法；可行区域内的搜索方法估计效率高 单纯形法和内点法竞争 俄罗斯 AT&T 贝尔实验室的 Monma 等人于 1987 年发表实验报告。他们使用比内点算法低 3 倍的内点算法解决了 31 个实验问题基于单纯形算法的MINOS；1993年发表的实验结果表明，对于一些大规模问题，内点法比单纯形法快80-100倍。然而，有人对实验结果有异议；单纯形法和内点法优劣的争论还没有结束；整数规划 整数规划 典型整数规划： 求解方法：穷举法、切割平面法、分支定界法、分支与割整数规划难度 即使是小的整数规划也可能难以求解，求解时间可能呈指数级减少。如果用穷举法求解，所需时间如下： n 解数 求解时间 101.02?1031.02?10-3 秒 201.05? 1061.05 秒 301.07?10918 分钟 401.10?days 501.73?years 1001.27?10304 亿年 : 1950 -1998 平面法(Plane): 1954,,: 用剖切面法求解42个城市的旅行商问题（TSP）；1957年完成剖切面法的理论研究；分支定界法（-and-Bound）：，Doig；1965达金；商业软件：MPSX/370：由等人于1971年开发；：由赫斯特等人于1972年开发；1972-1998：各种先进的B&B方法广泛应用于商业软件； - NP 困境的实用模型：只有 44 个约束，51 个整数变量，167 个非零元素；使用最佳方法，启发式地找到初始整数解（-2186)和问题的初始下界（-1379) 分支定界法（-and-Bound）：，Doig；1965达金；商业软件：MPSX/370：由等人于1971年开发；：由赫斯特等人于1972年开发；1972-1998：各种先进的B&B方法广泛应用于商业软件； - NP 困境的实用模型：只有 44 个约束，51 个整数变量，167 个非零元素；使用最佳方法，启发式地找到初始整数解（-2186)和问题的初始下界（-1379) 分支定界法（-and-Bound）：，Doig；1965达金；商业软件：MPSX/370：由等人于1971年开发；：由赫斯特等人于1972年开发；1972-1998：各种先进的B&B方法广泛应用于商业软件； - NP 困境的实用模型：只有 44 个约束，51 个整数变量，167 个非零元素；使用最佳方法，启发式地找到初始整数解（-2186)和问题的初始下界（-1379) 51 个整数变量，167 个非零元素；使用最佳方法，启发式地找到初始整数解（-2186)和问题的初始下界（-1379) 51 个整数变量，167 个非零元素；使用最佳方法，启发式地找到初始整数解（-2186)和问题的初始下界（-1379)
问题出在哪里？模型构建不良；线性规划解率也可能进退两难，找到了很好的解；耗时：14天整数规划问题并不难，线性规划的解率是解题的障碍；如果线性规划的求解速度可以再提高 1000 倍呢？整数规划解决方案的进展 线性规划的进展：更稳定和更快的对齐变量节点选择算法：受旅行推销员的影响 问题预处理：如约束的重写？xj?(?uj)y,y=0/1?xj?ujy() 切割平面法() 预处理减少问题的规格：x+y?3, x?1, y?1x+y?3可以删除拧紧约束() x+y?5;0?x?10;0?y?10; x 和 y 的下限可以更改为 5；5x+3y+z？4；x, y, z为0-1个变量，约束改为：4x+3y+z？4 节点选择方法平衡解的可行性和最优性 Depth-first：更容易找到整数可行解 -first：搜索树会很大；最好的第一：跟踪最好的解决方案；节点估计法：估计在节点下找到的最佳整数解的值；... 切割平面法整数规划求解方法的进展 CPLEX 选择了 108 个整数规划模型，分别用 5.0 和 8.0 版本求解线性规划软件线性规划软件，试图评估最有效的改进技巧：5.0版本未能解决所有问题，8.版本0解决所有问题超过1000秒；.7x..0..0var.2. 9x..3x 一个求解示例有 70,000 个求解器 230,000 个整数变量的受限、超小整数程序使用版本 .0 - 没有希望；利用 。
*复旦经济管理大学管理科学与工程系根节点：v=3.5（非整数）注：（1)GAP=0？证明最优解已经找到（2)实际应用：经常希望能找到一个足够好的解更好的正割平面（四面体表面的整数解）与=yx可行域正割平面
